Разбор решения задания ЕГЭ

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

(ЕГЭ. Задания А1)

Для того, что бы правильно решить задания данного типа необходимо понимать, что такое система счисления, знать перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Мы привыкли к десятичной системе счисления. В десятичной системе счисления есть 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Десятичная система счисления является позиционной, т.е. значение цифры зависит от ее положения в числе.

Представим любое число в десятичной системе счисления в виде слагаемых:

356₁₀ = 300 + 50 + 6 = 3*100 + 5*10 + 6*1

100, 10, 1 – это десятки в соответствующей степени - 102 , 101 , 100

Т.е. данное число можно представить в виде: 356₁₀ = 3*10² + 5*10¹ + 6*10⁰

Т.о. 10 – это основание системы, а число получается в виде слагаемых, состоящих из произведения цифр на основание в соответствующей степени (степень – номер цифры в позиции числа, нумерация цифр начинается с 0 справа налево).

Что же такое 2-я система счисления?

Десятичная система счисления является позиционной, т.е. значение цифры зависит от ее положения в числе.

В двоичной системе счисления есть всего 2 цифры – 0,1. И все операции над числами необходимо проводить, применяя только 2 цифры (0,1).

Например, 101100110101₂ .

Рассмотрим это число.

Сначала пронумеруем цифры:

1¹¹0¹⁰1⁹1⁸0⁷0⁶1⁵1⁴0³1²0¹1⁰₂

Нумеруем цифры числа, используя 10 цифр десятичной системы счисления, основание – 2, а цифра 2 – из набора цифр десятичной системы. А значит, если мы будем продолжать представление данного числа в виде слагаемых, то в результате получим число в десятичной системе счисления.

1¹¹0¹⁰1⁹1⁸0⁷0⁶1⁵1⁴0³1²0¹1⁰₂= 1*2¹¹ + 0*2¹⁰ + 1*2⁹ + 1*2⁸ + 0*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 1*2048 + 0*1024 + 1*512 + 1*256 + 0*128 + 0*64 + 1*32 + 1*16 + 0*8+ 1*4 + 0*2 + 1*1

* Не забываем, что любое число в нулевой степени равняется 1.

А теперь умножаем и складываем:

2048+512+256+32+16+4+1 = 2869₁₀

Получили число 2869 в десятичной системе счисления.

Аналогично осуществляется перевод чисел из ЛЮБОЙ системы счисления в десятичную.

1) Пусть нам дано число 762₈ (восьмеричная система счисления). Нам необходимо это число перевести в десятичную систему счисления.

Переведем…

- нумеруем числа: 7²6¹2⁰₈

- раскладываем на слагаемые: 7*8² + 6*8¹ + 2*8⁰ = 7*64 + 6*8 + 2*1

- умножаем и складываем: = 498₁₀

2) Пусть нам дано число 324₅ (пятеричная система счисления). Нам необходимо это число перевести в десятичную систему счисления. Переведем…

3²2¹4⁰₅ = 3*5² + 2*5¹ + 4*5⁰ = 3*25 + 2*5 + 4*1 = 89₁₀

А теперь сами:

8601₉ =

221₃ =

452₈ =

Для подсказки ответы:

8601₉ = 6319₁₀

221₃ = 25₁₀

452₈ = 298₁₀

Что же такое шестнадцатеричная система счисления?

В этой системе счисления алфавит системы счисления состоит не только из цифр (они закончились – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), но и из букв –A,B,C,D,E,F.

Т.е. имеются и такие числа как А5₁₆, СВ9₁₆ и т.д.

Буквы 16-ой системы счисления соответствуют числам десятеричной:

16-ая система счисления	A	B	C	D	E	F
10-ая система счисления	10	11	12	13	14	15

Переведем число С54F₁₆ из шестнадцатеричной системы в десятичную систему счисления:

С³5²4¹F⁰₁₆ = С*16³ + 5*16² + 4*16¹ + F*16⁰ = 12*4096 + 5*256 + 4*16 + 15*1 = 49152 + 1280+ 64 + 15 = 50511₁₀

А теперь сами:

8A1₁₆ =

F1₁₆ =

Для подсказки ответы:

8A116 = 2209₁₀

F1₁₆ = 241₁₀

Теперь рассмотрим перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную и обратно.

Есть такие таблицы:

2-ая система счисления	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ая система счисления	0	1	2	3	4	5	6	7

2-ая система счисления	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ая система счисления	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Т.е. 3 цифрам двоичной системы счисления соответствует 1 цифра 8-ой системы, а одной цифре 16-ой системы соответствует 4 цифры двоичной системы счисления.

Пусть нам даны числа 356₈ и 356₁₆, необходимо перевести их в двоичную систему счисления.

Просто подставляем соответствующие числа: 356₈ = 011101110₂

Первый 0 не пишется (сколько не ставь впереди числа нулей – оно не изменяется), тогда получается число:

356₈ = 11101110₂

А теперь из шестнадцатеричной в двоичную:

356₁₆ = 001101010110₂ = 1101010110₂

Пусть нам дано число 10011001010₂. Необходимо перевести его в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод чисел из двоичной в восьмеричную:

- разбиваем число на тройки цифр с конца – 10 011 001 010₂

- подставляем соответствующие цифры - 2312₈

Итого: 10011001010₂ = 2312₈

Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную:

- разбиваем число на четверки цифр с конца – 100 1100 1010₂

- подставляем соответствующие цифры – 4СА₁₆

Итого: 10011001010₂ = 4СА₁₆

* если первая тройка (четверка) цифр не полная, то добавляем нули.

А теперь сами:

8A1₁₆ =

61₈ =

10101₂ =

Перевод чисел из десятичной системы счисления в ЛЮБУЮ другую.

Необходимо число в десятичной системе счисления поделить на основание системы счисления, в которую переводим данное число, до получения в остатке цифры не больше, чем основание системы. Ответ представляет собой остатки от деления, записанные справа налево.

Пример1:

Перевод числа 215₁₀ из десятичной в двоичную систему счисления.

215	2
214	107	2
1	106	53	2
	1	52	26	2
		1	26	13	2
			0	12	6	2
				1	6	3	2
					0	2	1
						1

Теперь можно переходить к заданиям ЕГЭ типа А1.

Пример 1.

Дано А = 315₈ и В = D1₁₆. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?

1) 11010010 2) 11010000 3) 11001010 4) 11000111

Для решения переведем А и В в двоичную систему счисления:

А = 11001101

В = 11010001

И сравним – получается 11010000, т.е. ответ 2.

Пример 2.

Даны 4 числа: A = 567₈, B = 453₁₀, C = А6₁₆, D = 365₇. При переводе в двоичную систему счисления, в каком из данных чисел больше единиц?

1) A 2) B 3) C 4) D

Решение.

Переведем данные числа в двоичную систему счисления и подсчитаем единицы.

567₈ = 101110111

453₁₀ = 111000101

А6₁₆ = 10100110

365₇ = 194₁₀ = 11000010

Получается ответ 1.

А теперь сами:

Дано А = DC₁₆ и В = 342₈. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?

1) 11100011   2) 11010100   3)11011100   4) 11100001

Даны 4 числа: A = 325₈, B = 293₁₀, C = С6В₁₆, D = 315₇.

При переводе в двоичную систему счисления, в каком из данных чисел больше единиц?

1) A   2) B   3) C   4) D

Пример 3.

Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит

внутреннее представление числа (-78₁₀)?

1) 3   2) 4    3) 5    4) 6

Решение:

- Переведем число 78₁₀ в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 1001110₂

- По условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

- Чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 01001110₂

- Делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0): 01001110₂ → 10110001₂

- Добавляем к результату единицу: 10110001₂ + 1 = 10110010₂

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

В записи этого числа 4 единицы

Ответ: 2

Задания для самостоятельного решения:

1. Сколько единиц в двоичной записи числа 1025₁₀?

1) 1 2) 2 3) 10 4) 11

2. Сколько единиц в двоичной записи числа 195₁₀?

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173₁₀?

1) 7 2) 5 3) 6 4) 4

4. Сколько единиц в двоичной записи числа 64₁₀?

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

5. Сколько единиц в двоичной записи числа 127₁₀?

1) 1 2) 2 3) 6 4) 7

6. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 48₁₀?

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

7. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254₁₀?

1) 1 2) 2 3) 4 4) 8

8. Сколько единиц в двоичной записи числа 173₁₀?

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

9. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 513₁₀?

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

10. Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 497?

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

11. Как представлено число 83₁₀ в двоичной системе счисления?

1) 1001011₂ 2) 1100101₂ 3) 1010011₂ 4) 101001₂

12. Как представлено число 25₁₀ в двоичной системе счисления?

1) 1001₂ 2) 11001₂ 3) 10011₂ 4) 11010₂

13. Как представлено число 82₁₀ в двоичной системе счисления?

1) 1010010₂ 2) 1010011₂ 3) 100101₂ 4) 1000100₂

14. Как представлено число 263₁₀ в восьмеричной системе счисления?

1) 301₈ 2) 650₈ 3) 4078 4) 777₈

15. Как записывается число 567₈ в двоичной системе счисления?

1) 1011101₂ 2) 100110111₂ 3) 101110111₂ 4) 11110111₂

16. Как записывается число 754₈ в шестнадцатеричной системе счисления?

1) 738₁₆ 2) 1A4₁₆ 3) 1EC₁₆ 4) A561₆

17. Как записывается число A87₁₆ в восьмеричной системе счисления?

1) 435₈ 2) 1577₈ 3) 5207₈ 4) 6400₈

18. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

19. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35)?

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

20. Дано: a=D7₁₆ и b=331₈

Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?

1) 11011001₂ 2) 11011100₂ 3) 11010111₂ 4) 11011000₂

21. Дано: a=9D₁₆ , b=237₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе

счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 10011010₂ 2) 10011110₂ 3) 10011111₂ 4) 11011110₂

22. Дано: a=F7₁₆ , b=371₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе

счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 11111001₂ 2) 11011000₂ 3) 11110111₂ 4) 11111000₂

23. Дано: a=DD₁₆ , b=337₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе

счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 11011010₂ 2) 11111110₂ 3) 11011110₂ 4) 11011111₂

24. Дано: a=EA₁₆ , b=354₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству aCb ?

1) 11101010₂ 2) 11101110₂ 3) 11101011₂ 4) 11101100₂

25. Дано: a=E7₁₆ , b=351₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 11101010₂ 2) 11101000₂ 3) 11101011₂ 4) 11101100₂

26. Дано: a=322₈, b=D4₁₆ . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 11010011₂ 2) 11001110₂ 3) 11001010₂ 4) 11001100₂

27. Дано: a=D1₁₆ , b=333₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 11100011₂ 2) 11011010₂ 3) 10101101₂ 4) 11011101₂

28. Дано: a=70₁₀ , b=40₁₆ . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству b<C<a ?

1) 1000000₂ 2) 1000110₂ 3) 1000101₂ 4) 1000111₂

29. Дано: a=911₆ , b=352₈

Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) 10001001₂ 2) 10001100₂ 3) 11010111₂ 4) 11111000₂

30. Дано: a=11100110₂, b=271₈

Какое из чисел С, записанных в шестнадцатеричной системе счисления, удовлетворяет неравенству a<C<b ?

1) AA₁₆ 2) B8₁₆ 3) D6₁₆ 4) F01₆

31. Дано: x=1F4₁₆ , y=701₈

Какое из чисел Z, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству y<Z<x ?

1) 111111001₂ 2) 111100111₂ 3) 110111100₂ 4) 110110111₂

32. Дано: a=10110111₂, b=A6₁₆ . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству b<C<a ?

1) 10111010₂ 2) 10101010₂ 3) 101010100₂ 4) 10100010₂

33. Какое из чисел является наименьшим?

1) E6₁₆ 2) 347₈ 3) 11100101₂ 4) 232

34. Какое из чисел является наибольшим?

1) 9B₁₆ 2) 234₈ 3) 10011010₂ 4) 153

35. Дано А = DC₁₆ и В = 342₈. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?

1) 11100011 2) 11010100 3)11011100 4) 11100001

Материал подготовлен на основе источника:

http://info.150-4ex-lyubschool.edusite.ru/DswMedia/a1.pdf

Untitled-1_тренажер по переводу чисел
находится в Dropbox